[Tìm Hiểu] Đạo hàm của ma trận – Khái niệm và cách tính

Trong giải tích vectơ và ma trận, đạo hàm của ma trận là một khái niệm quan trọng, cho phép tính đạo hàm của hàm số có đầu vào hoặc đầu ra là một ma trận. Bài viết dưới đây sẽ giới thiệu khái niệm và cách tính đạo hàm của ma trận.

Định nghĩa đạo hàm của ma trận

Cho ma trận \(\mathbf{X} \in \mathbb{R}^{m\times n}\) phụ thuộc vào tham số \(\theta$.

Khi đó, đạo hàm của ma trận \(\mathbf{X}\) theo \(\theta\) được định nghĩa là ma trận có các phần tử là đạo hàm của từng phần tử \(\mathbf{X}\) theo \(\theta\):

$$\frac{d\mathbf{X}}{d\theta} = \begin{bmatrix} \frac{\partial x_{11}}{\partial \theta} & \cdots & \frac{\partial x_{1n}}{\partial \theta} \ \vdots & \ddots & \vdots \ \frac{\partial x_{m1}}{\partial \theta} & \cdots & \frac{\partial x_{mn}}{\partial \theta} \end{bmatrix}$$

Nói cách khác, đạo hàm của ma trận \(\mathbf{X}\) chính là ma trận các đạo hàm riêng của \(\mathbf{X}\).

Đạo hàm của ma trận trong hàm số

Giả sử ta có hàm số \(\mathbf{y} = f(\mathbf{X})\) với \(\mathbf{X} \in \mathbb{R}^{m\times n}\) và \(\mathbf{y} \in \mathbb{R}^p\).

Khi đó, đạo hàm của \(\mathbf{y}\) theo \(\mathbf{X}\) được tính:

$$\frac{d\mathbf{y}}{d\mathbf{X}} = \begin{bmatrix} \frac{\partial y_1}{\partial x_{11}} & \cdots & \frac{\partial y_1}{\partial x_{mn}} \ \vdots & \ddots & \vdots \ \frac{\partial y_p}{\partial x_{11}} & \cdots & \frac{\partial y_p}{\partial x_{mn}} \end{bmatrix}$$

Như vậy, đạo hàm của hàm số ma trận theo ma trận chính là ma trận đạo hàm riêng.

Ví dụ minh họa

Cho hàm số \(\mathbf{X} = A\mathbf{Y}\) với \(\mathbf{Y} \in \mathbb{R}^{n\times n}, A \in \mathbb{R}^{m\times n}\).

Ta có:

$$\mathbf{X} = \begin{bmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \ \vdots & \ddots & \vdots \ a_{m1} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} y_{11} & \cdots & y_{1n} \ \vdots & \ddots & \vdots \ y_{n1} & \cdots & y_{nn}
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \sum_{k=1}^{n} a_{1k}y_{k1} & \cdots & \sum_{k=1}^{n} a_{1k}y_{kn} \ \vdots & \ddots & \vdots \
\sum_{k=1}^{n} a_{mk}y_{k1} & \cdots & \sum_{k=1}^{n} a_{mk}y_{kn} \end{bmatrix}$$

Khi đó:

$$\frac{d\mathbf{X}}{d\mathbf{Y}} = \begin{bmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \ \vdots & \ddots & \vdots \ a_{m1} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} = A$$

Ta thấy rằng đạo hàm của \(\mathbf{X}\) theo \(\mathbf{Y}\) chính bằng ma trận \(A\) ban đầu.

Đạo hàm của tích vô hướng ma trận

Cho \(\mathbf{X}, \mathbf{Y} \in \mathbb{R}^{n\times n}\) và tích vô hướng \(\mathbf{X}^T\mathbf{Y}\).

Khi đó:

$$\frac{d(\mathbf{X}^T\mathbf{Y})}{d\mathbf{X}} = \mathbf{Y}$$

$$\frac{d(\mathbf{X}^T\mathbf{Y})}{d\mathbf{Y}} = \mathbf{X}$$

Như vậy, đạo hàm của tích vô hướng ma trận bằng chính ma trận còn lại.

Đạo hàm của định thức ma trận

Với ma trận vuông \(\mathbf{X} \in \mathbb{R}^{n\times n}\), ta có:

$$\frac{d\text{det}(\mathbf{X})}{d\mathbf{X}} = \text{det}(\mathbf{X})\mathbf{X}^{-T}$$

Trong đó \(\mathbf{X}^{-T}\) là ma trận nghịch đảo của \(\mathbf{X}^T\).

Như vậy, đạo hàm của định thức ma trận bằng chính định thức nhân với ma trận nghịch đảo chuyển vị.

Đạo hàm của nghịch đảo ma trận

Với ma trận vuông khả nghịch \(\mathbf{X} \in \mathbb{R}^{n\times n}\), ta có:

$$\frac{d\mathbf{X}^{-1}}{d\mathbf{X}} = -\mathbf{X}^{-1}\left(\frac{d\mathbf{X}}{d\mathbf{X}}\right)\mathbf{X}^{-1}$$

Công thức này hữu ích để tính đạo hàm của ma trận nghịch đảo, xuất hiện trong nhiều mô hình toán học.

Đạo hàm vector theo ma trận

Cho vector \(\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n\) phụ thuộc vào ma trận \(\mathbf{A} \in \mathbb{R}^{m\times n}\).

Khi đó, đạo hàm của \(\mathbf{x}\) theo \(\mathbf{A}\) được tính:

$$\frac{d\mathbf{x}}{d\mathbf{A}} = \begin{bmatrix} \frac{\partial x_1}{\partial a_{11}} & \cdots & \frac{\partial x_1}{\partial a_{mn}} \ \vdots & \ddots & \vdots \ \frac{\partial x_n}{\partial a_{11}} & \cdots & \frac{\partial x_n}{\partial a_{mn}} \end{bmatrix}$$

Tóm tắt

Như vậy, bài viết trên đã trình bày các nội dung chính về đạo hàm của ma trận:

Hi vọng bài viết sẽ giúp bạn nắm vững khái niệm và cách tính đạo hàm của ma trận, phục vụ tốt cho việc học tập và nghiên cứu.

Đánh giá bài viết


source https://xeco247.com/dao-ham-cua-ma-tran/

Nhận xét

Đăng nhận xét

Bài đăng phổ biến từ blog này

10 Mẫu tả một người mà em yêu quý nhất

Hình ảnh
Trong cuộc sống, mỗi chúng ta đều có những người thân yêu mà mình yêu quý và trân trọng. Đó có thể là ba, mẹ, ông bà, anh chị em, thầy cô giáo hay những người bạn thân thiết. Họ đều đóng vai trò quan trọng trong cuộc đời mỗi người. Vì vậy, việc tả người thân yêu quý là một bài tập quan trọng trong môn tiếng Việt ở cấp tiểu học, giúp các em rèn luyện kỹ năng quan sát, miêu tả và thể hiện tình cảm đối với người thân. Dưới đây là một số gợi ý cho các em học sinh lớp 5 khi viết bài văn tả một người thân mà mình yêu quý nhất: Lựa chọn nhân vật Người thân trong gia đình: mẹ, cha, ông bà, anh chị em. Đây thường là những người thân thiết nhất và có ảnh hưởng lớn nhất tới cuộc sống của các em. Thầy cô giáo: những người thầy đã dạy dỗ, chỉ bảo các em nhiều điều hay. Bạn bè thân thiết: những người bạn tốt luôn chia sẻ và giúp đỡ các em. Xác định nội dung chính Mô tả ngoại hình: dáng người, khuôn mặt, mái tóc, cách ăn mặc… Mô tả tính cách: vui vẻ, hài hước, nghiêm khắc, tốt bụng… Mô t...
Đọc thêm

[Tìm Hiểu] Đạo hàm của cos2x và ứng dụng trong tính đạo hàm hàm số bình phương

Hình ảnh
Trong lượng giác học, đạo hàm của hàm số là một khái niệm cơ bản và quan trọng. Đạo hàm cho biết tốc độ thay đổi của hàm số khi biến thay đổi một đơn vị. Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu về đạo hàm của cos2x và ứng dụng của nó trong việc tính đạo hàm của các hàm số bình phương. Đạo hàm của cos2x Để tìm đạo hàm của hàm số cos2x, ta áp dụng công thức sau: $$ (cos^2x)’ = 2cosxcosx’ $$ Trong đó: cos2x: hàm số ban đầu (cos2x)’: đạo hàm của hàm số cos2x cosx’: đạo hàm của hàm số cosx Áp dụng công thức đạo hàm của hàm cosx ta được: $$ cosx’ = -sinx $$ Như vậy: $$ \begin{aligned} (cos^2x)’ &= 2cosxcosx’\ &= 2cosx(-sinx)\ &= -2sinxcosx \end{aligned} $$ Kết luận : Đạo hàm của hàm số cos2x là: $$ (cos^2x)’ = -2sinxcosx $$ Ứng dụng trong tính đạo hàm hàm số bình phương Đối với các hàm số bình phương, ta có thể áp dụng công thức tính đạo hàm của cos2x để tìm đạo hàm. Ví dụ, tính đạo hàm của hàm số: $$ y = sin^2(3x) $$ Áp dụng công thức tính đạo hàm của ...
Đọc thêm

[Giải Đáp] Một trong những mục tiêu của chính sách dân số nước ta là gì?

Hình ảnh
Chính sách dân số là chính sách quan trọng của Đảng và Nhà nước ta, nhằm điều chỉnh quy mô, cơ cấu, phân bố dân số phù hợp với điều kiện kinh tế – xã hội của đất nước. Thực hiện tốt chính sách dân số sẽ góp phần quan trọng vào sự nghiệp phát triển đất nước. Vậy một trong những mục tiêu quan trọng của chính sách dân số nước ta là gì? Khái quát chung về chính sách dân số ở nước ta Chính sách dân số là chính sách nhà nước về dân số, nhằm điều chỉnh các yếu tố liên quan đến dân số như quy mô, cơ cấu, phân bố dân cư… cho phù hợp với điều kiện kinh tế – xã hội của đất nước trong từng thời kỳ. Chính sách dân số được thực hiện thông qua các biện pháp kinh tế, xã hội, giáo dục để tác động làm thay đổi nhận thức, thái độ, hành vi của người dân về sinh đẻ. Thực hiện tốt chính sách dân số sẽ góp phần quan trọng vào việc phát triển kinh tế – xã hội và bảo đảm an sinh xã hội. Ở nước ta, chính sách dân số được coi là một chiến lược lâu dài của Đảng và Nhà nước. Mục tiêu của chính sách dân số...
Đọc thêm